Pythagoras berekenen
Leer de stelling van Pythagoras met formule, stap-voor-stap uitleg, uitgewerkte voorbeelden en een gratis calculator. Voor vmbo, havo en vwo.
⚡ Snel antwoord
- Hypotenusa berekenen: c = √(a² + b²) — wortel van de som van de kwadraten
- Rechthoekszijde berekenen: a = √(c² − b²) — wortel van het verschil van de kwadraten
- Geldt alleen voor rechthoekige driehoeken (met een hoek van precies 90°)
Wat is de stelling van Pythagoras?
De stelling van Pythagoras beschrijft de relatie tussen de drie zijden van een rechthoekige driehoek: een driehoek met één hoek van precies 90°. Het is een van de meest gebruikte stellingen in de wiskunde en heeft toepassingen in meetkunde, trigonometrie, natuurkunde en techniek. Net als het gemiddelde berekenen is de stelling van Pythagoras een fundament dat je in veel vakken tegenkomt.
De stelling is vernoemd naar de Griekse wiskundige Pythagoras van Samos (± 570 v.Chr.), hoewel het principe al eerder bekend was bij de Babyloniërs en Egyptenaren. In het Nederlandse middelbare schoolprogramma leer je de stelling in klas 2 of 3.
De twee kortere zijden die de rechte hoek vormen heten de rechthoekszijden (ook wel katheten). De langste zijde tegenover de rechte hoek heet de hypotenusa.
Figuur 1 — Rechthoekige driehoek. Zijde c (groen) is altijd de hypotenusa: de langste zijde, tegenover de rechte hoek.
Alleen voor rechthoekige driehoeken
De stelling werkt uitsluitend als de driehoek een hoek van 90° heeft. Bij driehoeken zonder rechte hoek gebruik je de cosinusregel of sinusregel.
De formule van Pythagoras
Stelling van Pythagoras
a² + b² = c²
| Onbekende zijde | Formule | Wanneer gebruiken |
|---|---|---|
| c (hypotenusa) | c = √(a² + b²) | Beide rechthoekszijden bekend |
| a (rechthoekszijde) | a = √(c² − b²) | Hypotenusa en zijde b bekend |
| b (rechthoekszijde) | b = √(c² − a²) | Hypotenusa en zijde a bekend |
Stap voor stap Pythagoras berekenen
Controleer of de driehoek rechthoekig is
De stelling geldt alleen bij een hoek van 90°. Die wordt aangegeven met een klein vierkantje in de hoek.
Identificeer de hypotenusa
De hypotenusa (c) is de langste zijde, altijd tegenover de rechte hoek. Benoem de andere zijden a en b.
Kies de juiste formule
Bereken je c? Gebruik c = √(a² + b²). Bereken je een rechthoekszijde? Gebruik a = √(c² − b²).
Vul in, kwadrateer en neem de wortel
Vervang de letters door de gegeven waarden, bereken de kwadraten, tel op of trek af, en neem de vierkantswortel.
Controleer: is c de langste zijde?
Je antwoord klopt alleen als de gevonden hypotenusa groter is dan zowel a als b.
Pythagoras calculator
Kies welke zijde je wilt berekenen, voer de andere twee in en klik op Bereken.
Pythagoras Calculator
3 modi: bereken c (hypotenusa) · bereken a · bereken b
Welke zijde wil je berekenen?
Uitkomst
Voorbeelden van Pythagoras
Voorbeeld 1 — Hypotenusa berekenen
Een rechthoekige driehoek heeft a = 3 cm en b = 4 cm. Bereken c.
Formule: c = √(a² + b²)
Invullen: c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25
Voorbeeld 2 — Rechthoekszijde berekenen
Een rechthoekige driehoek heeft c = 13 cm en b = 5 cm. Bereken a.
Formule: a = √(c² − b²)
Invullen: a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144
Voorbeeld 3 — Geen geheel getal
Een rechthoekige driehoek heeft a = 5 cm en b = 7 cm. Bereken c (op 2 decimalen).
Formule: c = √(5² + 7²) = √(25 + 49) = √74
Voorbeeld 4 — Praktijkvraag: ladder
Een ladder van 10 m staat tegen een muur. De voet staat 6 m van de muur. Hoe hoog reikt de ladder?
De ladder = hypotenusa (c = 10 m). Afstand tot de muur: b = 6 m.
Formule: a = √(c² − b²) = √(100 − 36) = √64
Pythagoraanse drietallen
Een Pythagorees drietal is een combinatie van drie gehele getallen waarvoor a² + b² = c² geldt. Bij examens komen ze vaak voor omdat de antwoorden netjes uitkomen. Het bekendste drietal is 3-4-5.
Tip: veelvouden werken ook
Elk veelvoud van een Pythagorees drietal is ook geldig. 3-4-5 geeft ook: 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20.
| a | b | c (hypotenusa) | Controle |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 ✓ |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 ✓ |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 ✓ |
Fouten die leerlingen maken
Hypotenusa en rechthoekszijde verwarren
De hypotenusa staat altijd rechts: a² + b² = c². Zet nooit een rechthoekszijde op die plek.
Onthoud: c is altijd de langste zijde, tegenover de rechte hoek.
Vergeten de wortel te nemen
De formule geeft eerst c². Je moet nog de vierkantswortel nemen: c = √(c²).
Schrijf altijd: c = √25 = 5, niet c = 25.
Optellen in plaats van aftrekken bij een rechthoekszijde
Formule voor rechthoekszijde: a = √(c² min b²). Veel leerlingen tellen per ongeluk op.
Rechthoekszijde = aftrekken. Hypotenusa = optellen.
Stelling toepassen op een niet-rechthoekige driehoek
Zonder rechte hoek werkt de stelling niet. Controleer altijd of er een 90°-hoek is.
Geen vierkantje in de figuur? Dan is het geen rechthoekige driehoek.
Oefen zelf
Maak de opgave eerst zelf. Klik daarna op “Toon antwoord”.
1. Een rechthoekige driehoek heeft a = 6 cm en b = 8 cm. Bereken c.
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. (Drietal 6-8-10, veelvoud van 3-4-5)
2. Een rechthoekige driehoek heeft c = 17 cm en a = 8 cm. Bereken b.
b = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15. (Drietal 8-15-17)
3. Controleer: is een driehoek met zijden 9, 12 en 15 rechthoekig?
9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15². Klopt. (Veelvoud van 3-4-5)
4. Een vierkant heeft een diagonaal van 10 cm. Hoe lang is een zijde? (2 decimalen)
Diagonaal = hypotenusa. Twee gelijke zijden: a = b. c² = 2a², dus a = √(100/2) = √50 ≈ 7,07 cm.
5. Een rechthoekige driehoek heeft a = 7 en b = 9. Bereken c (op 4 decimalen).
c = √(7² + 9²) = √(49 + 81) = √130 ≈ 11,4018
Conclusie
Wat heb je geleerd?
De stelling van Pythagoras is een van de meest fundamentele formules in de wiskunde: a² + b² = c². Ze geldt uitsluitend voor rechthoekige driehoeken en beschrijft de relatie tussen de twee rechthoekszijden (a en b) en de hypotenusa (c). Wil je daarna verder met statistiek? Bekijk dan onze uitleg over gemiddelde berekenen.
Wil je de hypotenusa berekenen, tel je de kwadraten op en neem je de wortel: c = √(a² + b²). Zoek je een rechthoekszijde, dan trek je af: a = √(c² − b²). De grootste valkuil is optellen in plaats van aftrekken, of vergeten de wortel te nemen.
Pythagoraanse drietallen — zoals 3-4-5, 5-12-13 en 8-15-17 — verschijnen regelmatig op toetsen. Als je ze herkent, bespaar je rekentijd. Gebruik de calculator hierboven voor snelle berekeningen en check altijd of c de langste zijde is.
