Hoe werkt de abc-formule?

De abc-formule lost elke kwadratische vergelijking op in twee stappen. Eerst bereken je de discriminant: D = b² − 4ac. Als D ≥ 0, vul je in: x = (−b ± √D) / (2a).

Wat is de discriminant?

De discriminant is het getal D = b² − 4ac. D > 0 geeft twee oplossingen, D = 0 geeft één oplossing (dubbele wortel), en D < 0 betekent geen reële oplossing.

Wanneer gebruik je ontbinden in factoren?

Ontbinden in factoren is handig als a = 1 en b en c gehele getallen zijn waarvoor je makkelijk twee getallen kunt vinden met som = −b en product = c.

Hoe bereken je de top van een parabool?

De x-coördinaat van de top is x_top = −b / (2a). Vul deze x-waarde in de formule om y_top te berekenen.

Wat is het verschil tussen een dal- en bergparabool?

Als a > 0 is de parabool een dalparabool (openend naar boven). Als a < 0 is het een bergparabool (openend naar beneden). Hoe groter |a|, hoe smaller de parabool.

ABC-formule Calculator: Kwadratische Vergelijking Oplossen

Q: Wat is een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a, b en c constanten zijn en a ≠ 0. De hoogste macht van de onbekende x is 2.

Q: Wanneer gebruik je ontbinden in factoren?

Ontbinden in factoren is handig als a = 1 en b en c gehele getallen zijn waarvoor je makkelijk twee getallen kunt vinden met som = −b en product = c.

Q: Hoe bereken je de top van een parabool?

De x-coördinaat van de top is x_top = −b / (2a). Vul deze x-waarde in de formule om y_top te berekenen.

Q: Wat is het verschil tussen een dal- en bergparabool?

Als a > 0 is de parabool een dalparabool (openend naar boven). Als a < 0 is het een bergparabool (openend naar beneden). Hoe groter |a|, hoe smaller de parabool.

Q: Wat is kwadraat afsplitsen?

Bij kwadraat afsplitsen schrijf je ax² + bx + c om naar a(x − p)² + q. De top van de parabool is dan (p, q). Gebruik p = −b/(2a) en q = c − ap².

Gratis wiskunde uitleg

Wat is een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking (ook wel tweedegraadsvergelijking of vierkantsvergelijking genoemd) is een vergelijking waarin de onbekende x voorkomt in het kwadraat. De standaardvorm is:

📐 Standaardvorm kwadratische vergelijking

ax² + bx + c = 0

waarbij a, b en c vaste getallen (coëfficiënten) zijn en a ≠ 0.
De waarde van a bepaalt of de parabool een dal- of bergparabool is. Als a > 0 is het een dalparabool, als a < 0 een bergparabool.

Voorbeelden van kwadratische vergelijkingen: x² − 5x + 6 = 0, 2x² + 3x − 7 = 0 en −x² + 4 = 0. In elk geval is de hoogste macht van x gelijk aan 2.

Beheers je ook andere wiskundige basisvaardigheden? Bekijk onze pythagoras calculator voor meetkunde of de gemiddelde calculator voor statistiek-opgaven.

Drie methoden om kwadratische vergelijkingen op te lossen

Er zijn drie veelgebruikte methoden. De juiste keuze hangt af van de vorm van de vergelijking.

Methode	Wanneer gebruiken	Voorbeeld
Direct oplossen	Vorm x² = c (geen bx-term)	x² = 25 → x = 5 of x = −5
Ontbinden	Gehele getallen makkelijk te vinden	x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
ABC-formule	Altijd bruikbaar	3x² + 7x − 2 = 0 → abc-formule

De abc-formule (wortelformule)

De abc-formule is de universele methode om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

📐 De abc-formule

Stap 1: Bereken de discriminant: D = b² − 4ac

Stap 2: Bereken de oplossingen (als D ≥ 0)
x = (−b + √D) / 2a of x = (−b − √D) / 2a

Discriminant berekenen — uitleg en voorbeelden

De discriminant (D) is het getal dat je berekent met D = b² − 4ac. Het is de eerste stap bij de abc-formule en vertelt je direct hoeveel oplossingen je kunt verwachten — zonder de vergelijking volledig op te lossen.

Wat vertelt de discriminant je?

Discriminant	Aantal oplossingen	Grafisch
D > 0	Twee verschillende oplossingen	Parabool snijdt x-as op twee punten
D = 0	Precies één oplossing	Parabool raakt de x-as
D < 0	Geen reële oplossing	Parabool snijdt x-as niet

Voorbeeld — discriminant berekenen

Bereken D voor: 3x² − 6x + 3 = 0

a = 3, b = −6, c = 3

D = (−6)² − 4 · 3 · 3

Uitrekenen

D = 36 − 36 = 0

Conclusie

D = 0 → precies één oplossing

x = −b / (2a) = 6 / 6 = 1

Uitgewerkte voorbeelden per niveau

Voorbeeld — vmbo: direct oplossen

Los op: x² = 36

Trek de wortel aan beide kanten

x = √36 of x = −√36

Uitkomst

x = 6 of x = −6

Vergeet de negatieve wortel niet. Zowel 6² = 36 als (−6)² = 36.

Voorbeeld — vmbo: ontbinden in factoren

Los op: x² − 5x + 6 = 0

Zoek twee getallen met som 5 en product 6

2 + 3 = 5 en 2 × 3 = 6 ✓

som = −b = −(−5) = 5, product = c = 6

Schrijf als product van factoren

(x − 2)(x − 3) = 0

Oplossingen

x = 2 of x = 3

💡 Tip voor vmbo

De som-product-methode werkt alleen als a = 1 en b en c gehele getallen zijn. Anders gebruik je de abc-formule.

Voorbeeld — havo: abc-formule toepassen

Los op: 2x² + 3x − 5 = 0

Bepaal a, b en c

a = 2, b = 3, c = −5

Bereken de discriminant

D = 3² − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49

D > 0, dus er zijn twee oplossingen.

Vul in de abc-formule in

x = (−3 + √49) / (2 · 2) = 4/4 = 1

x = (−3 − √49) / (2 · 2) = −10/4 = −2,5

💡 Tip voor havo

Bereken altijd eerst de discriminant apart. Dit voorkomt rekenfouten met mintekens.

Voorbeeld — havo: snijpunten parabool en lijn

Bereken de snijpunten van y = x² − 2x en y = x + 4.

Stel gelijk

x² − 2x = x + 4 → x² − 3x − 4 = 0

Ontbinden (som = −b = 3, product = c = −4)

(x − 4)(x + 1) = 0 → x = 4 of x = −1

Bereken y-waarden

x = 4: y = 8 → (4, 8)

x = −1: y = 3 → (−1, 3)

Voorbeeld — vwo: irrationale wortels

Los op: x² + 6x + 1 = 0

a = 1, b = 6, c = 1

D = 36 − 4 = 32

Vereenvoudig √32

√32 = √(16 · 2) = 4√2

Exact antwoord

x = (−6 ± 4√2) / 2 = −3 ± 2√2

x ≈ −0,17 of x ≈ −5,83

💡 Tip voor vwo

Laat het antwoord exact staan als de wortel niet uitkomt. Vereenvoudig zo ver mogelijk (√32 = 4√2).

Voorbeeld — vwo: kwadraat afsplitsen

Schrijf f(x) = x² − 8x + 20 in de vorm (x − p)² + q en bepaal de top.

Halveer de coëfficiënt van x

−8 / 2 = −4, dus p = 4

Herschrijf

(x − 4)² = x² − 8x + 16

x² − 8x + 20 = (x − 4)² + 4

Top van de parabool

Top = (4, 4)

q = 4 > 0, a = 1 > 0 (dalparabool): hele grafiek boven x-as. D = 64 − 80 = −16 < 0. ✓

Ontbinden in factoren (som-product-methode)

Bij de som-product-methode zoek je twee getallen waarvan de som gelijk is aan −b en het product gelijk aan c (dit werkt als a = 1).

📐 Som-product-methode

Voor x² + bx + c = 0 zoek je getallen p en q zodat:

p + q = −b en p × q = c

Dan geldt: (x − p)(x − q) = 0, dus x = p of x = q.

Voorbeeld: x² − 5x + 6 = 0. −b = 5, c = 6. p = 2, q = 3. Dus (x − 2)(x − 3) = 0.

Kwadraat afsplitsen

Kwadraat afsplitsen is een alternatieve methode om een kwadratische vergelijking op te lossen en de top van de parabool te bepalen. Je herschrijft ax² + bx + c naar de vorm a(x − p)² + q. Dit is vooral nuttig bij vwo en wanneer de discriminant een irrationaal getal geeft.

📐 Stappenplan kwadraat afsplitsen

1. Halveer de coëfficiënt van x: p = −b / (2a)
2. Bereken q: q = c − ap²
3. Herschrijf als: a(x − p)² + q
4. De top van de parabool is (p, q)

Voorbeeld: x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2. Top = (3, 2).

Veelgemaakte fouten bij kwadratische vergelijkingen

❌ Fout #1

−5² = −25

Vergeten haakjes bij negatieve b

✓ Juist

(−5)² = 25

b² is altijd positief als b ≠ 0

❌ Fout #2

x² = 9 → x = 3

Negatieve wortel vergeten

✓ Juist

x² = 9 → x = 3 of x = −3

Altijd twee wortels

❌ Fout #3

x² − 3x = 4 → x(x − 3) = 4

Niet eerst op 0 herleiden

✓ Juist

x² − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0

Rechts moet altijd 0 staan

❌ Fout #4

x = −b ± √D

Delen door 2a vergeten

✓ Juist

x = (−b ± √D) / (2a)

Hele teller door 2a delen

Oefenopgaven — klik op ‘toon antwoord’

Probeer eerst zelf het antwoord te berekenen en controleer dan met de uitwerking.

vmbo

Los op: x² = 49

x = 7 of x = −7
√49 = 7. Vergeet −7 niet. ✓

vmbo

Los op: x² − 7x + 12 = 0

x = 3 of x = 4
som = 7, product = 12. (x − 3)(x − 4) = 0. ✓

vmbo

Los op: x² + 4x = 0

x = 0 of x = −4
x(x + 4) = 0. ✓

havo

Los op: 3x² − 12x + 9 = 0

x = 1 of x = 3
Deel door 3: x² − 4x + 3 = 0. (x − 1)(x − 3) = 0. ✓

havo

Los op: −x² + 6x − 9 = 0

x = 3 (dubbele wortel)
D = 36 − 36 = 0. x = −6/(−2) = 3. ✓

vwo

Los op: 2x² − 3x − 1 = 0 (exact)

x = (3 ± √17) / 4
D = 9 + 8 = 17. x ≈ 1,78 of x ≈ −0,28. ✓

Kwadratische vergelijkingen in het dagelijks leven

Kwadratische vergelijkingen zijn niet alleen examenstof:

Werpbewegingen — De baan van een bal volgt een parabool. h(t) = −½gt² + v₀t + h₀ oplossen voor h(t) = 0 geeft het landingspunt.
Oppervlakte — "Tuin is 3 m langer dan breed, oppervlakte = 108 m²." Leidt tot x² + 3x − 108 = 0.
Winst — W(p) = −2p² + 100p − 800. Top van de parabool = optimale prijs.
Remweg — Dubbele snelheid = viervoudige remweg. d = v²/(2 · vertraging).

Veelgestelde vragen over kwadratische vergelijkingen

Een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a ≠ 0. De hoogste macht van x is 2.

Bereken de discriminant: D = b² − 4ac. Als D ≥ 0: x = (−b ± √D) / (2a).

D = b² − 4ac. D > 0: twee oplossingen. D = 0: één (dubbele wortel). D < 0: geen reële oplossing.

Als a = 1 en je makkelijk getallen vindt met som = −b en product = c. Voorbeeld: x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5) = 0.

x_top = −b/(2a). Vul in voor y_top. Voorbeeld: f(x) = 2x² − 8x + 5 → top = (2, −3).

a > 0: dalparabool (∪). a < 0: bergparabool (∩). Hoe groter |a|, hoe smaller.

Bij kwadraat afsplitsen schrijf je ax² + bx + c om naar a(x − p)² + q. De top van de parabool is dan direct af te lezen als (p, q). Gebruik p = −b/(2a) en q = c − ap².

Conclusie — kwadratische vergelijkingen onder de knie

Met de drie methoden op deze pagina kun je elke kwadratische vergelijking aanpakken. De discriminant vertelt je altijd vooraf hoeveel oplossingen je kunt verwachten.

De WiskundeHulp abc-formule calculator bovenaan helpt je snel en foutloos rekenen. Gebruik hem zo vaak als je wilt, helemaal gratis.

Bekijk ook onze percentage calculator, gemiddelde calculator of pythagoras calculator. Veel succes!

WiskundeHulp Redactie

Deze uitleg is gecontroleerd op wiskundige juistheid en afgestemd op de actuele eindexameneisen voor vmbo, havo en vwo.

Bronnen: Examenblad.nl · SLO Nationaal Expertisecentrum Leerplanontwikkeling · Van de Craats & Bosch, Basisboek Wiskunde (Pearson, 2021)

ABC-formule calculator —
kwadratische vergelijking oplossen

WiskundeHulp abc-formule calculator — met uitleg

Wat is een kwadratische vergelijking?