Gemiddelde berekenen — gewogen gemiddelde & mediaan
Bereken het gemiddelde, gewogen gemiddelde en mediaan met gratis calculator en stap-voor-stap uitleg. Inclusief modus, frequentietabel en voorbeelden voor vmbo, havo en vwo.
⚡ Snel antwoord
- Rekenkundig gemiddelde: Tel alle getallen op en deel door het aantal: (x1 + x2 + … + xn) / n
- Gewogen gemiddelde: Vermenigvuldig elke waarde met zijn gewicht, tel op en deel door de totale weging
- Mediaan: Middelste waarde na sorteren van klein naar groot
- Modus: De waarde die het vaakst voorkomt
Wat is een gemiddelde?
Een gemiddelde is een getal dat het centrum van een reeks waarden weergeeft. Het is een van de meest gebruikte begrippen in de wiskunde en statistiek. Je berekent het gemiddelde om een samenvatting te geven van een groep getallen.
Stel: je hebt in een week elke dag gelopen. Maandag 3 km, dinsdag 5 km, woensdag 4 km, donderdag 6 km en vrijdag 7 km. Dan wil je weten hoeveel kilometer je gemiddeld per dag hebt gelopen. Dat doe je door alles bij elkaar op te tellen en te delen door het aantal dagen.
Er zijn verschillende soorten gemiddelden, maar in het voortgezet onderwijs werk je het meest met het rekenkundig gemiddelde en het gewogen gemiddelde. Naast het gemiddelde zijn de mediaan en de modus de andere twee centrummaten die je moet kennen. In hogere leerjaren (havo/vwo) kom je ook de gemiddelde verandering tegen bij functies.
Wil je ook andere wiskundige basisvaardigheden oefenen? Bekijk onze abc-formule calculator voor algebra of de pythagoras calculator voor meetkunde.
De formule voor het gemiddelde
Rekenkundig gemiddelde
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
Figuur 1 — De vijf waarden als staven. De stippellijn toont het gemiddelde (x̄ = 6).
Gewogen gemiddelde
x̄ = (x₁·w₁ + x₂·w₂ + … + xₙ·wₙ) / (w₁ + w₂ + … + wₙ)
Figuur 2 — Breedte = weging. Het proefwerk (w=2) telt dubbel mee en trekt het gemiddelde omhoog.
Stap voor stap het gemiddelde berekenen
Verzamel alle waarden
Schrijf alle getallen op die je wilt middelen. Controleer of je geen waarden mist.
Tel alle waarden bij elkaar op
Bereken de som van alle getallen: x₁ + x₂ + … + xₙ.
Deel door het aantal waarden
Deel de som door n (het totale aantal getallen). Dit geeft het gemiddelde.
Rond af op het juiste aantal decimalen
Schoolcijfers rond je af op 1 decimaal. Controleer altijd wat de opgave vraagt.
Mediaan en modus berekenen
Naast het gemiddelde zijn de mediaan en de modus de andere twee centrummaten die je op het vmbo, havo en vwo moet kennen. Ze geven elk een andere kijk op het centrum van een dataset en worden samen met het gemiddelde de drie centrummaten genoemd.
Mediaan berekenen
De mediaan is de middelste waarde als je de reeks van klein naar groot sorteert. Bij een oneven aantal waarden is de mediaan het middelste getal. Bij een even aantal waarden neem je het gemiddelde van de twee middelste getallen.
Voorbeeld — mediaan (oneven aantal)
Reeks: 4, 7, 3, 9, 5. Bereken de mediaan.
Stap 1: Sorteer van klein naar groot: 3, 4, 5, 7, 9
Stap 2: 5 waarden → middelste is positie 3. Mediaan = 5
Voorbeeld — mediaan (even aantal)
Reeks: 3, 4, 7, 9. Bereken de mediaan.
Stap 1: Gesorteerd: 3, 4, 7, 9 (al gesorteerd)
Stap 2: 4 waarden → twee middelste zijn 4 en 7. Mediaan = (4 + 7) / 2 = 5,5
Modus berekenen
De modus is de waarde die het vaakst voorkomt in een reeks. Een reeks kan meerdere modi hebben als twee waarden even vaak voorkomen. Als alle waarden even vaak voorkomen, is er geen modus.
Voorbeeld — modus
Reeks: 6, 7, 5, 8, 6, 7, 6. Wat is de modus?
6 komt 3 keer voor, 7 komt 2 keer voor, 5 en 8 elk 1 keer.
Modus = 6 (komt het vaakst voor)
💡 Wanneer gebruik je welke centrummaat?
Gebruik het gemiddelde als er geen uitschieters zijn. Gebruik de mediaan bij uitschieters (zoals inkomens of huizenprijzen — die zijn scheef verdeeld). Gebruik de modus voor categorische data (meest gekozen antwoord, populairste maat).
Gemiddelde calculator
Kies een berekeningsmethode, voer je getallen in en klik op Bereken.
Gemiddelde Calculator
3 methoden: rekenkundig · gewogen · gemiddelde verandering
Voeg getallen toe en bereken het rekenkundig gemiddelde.
Rekenkundig gemiddelde
Voer een cijfer en zijn weging in. Handig voor PTA, Magister en rapportcijfers.
Gewogen gemiddelde
Bereken de gemiddelde verandering (helling) tussen twee punten: Δy / Δx. Voor havo en vwo.
Gemiddelde verandering (Δy/Δx)
Uitleg per niveau
Klik op jouw niveau voor de bijpassende uitleg en voorbeelden.
Rekenkundig gemiddelde en centrummaten
Op het vmbo leer je het rekenkundig gemiddelde berekenen. Je gebruikt dit bij statistiekopdrachten: het gemiddelde (x̄), de mediaan en de modus zijn de drie centrummaten die je moet kennen.
Mediaan is het middelste getal als je de reeks van klein naar groot sorteert. Modus is het getal dat het vaakst voorkomt. Gemiddelde is de som gedeeld door het aantal.
Voorbeeld 1: vmbo
Een klas heeft de volgende cijfers gehaald voor wiskunde: 6, 7, 5, 8, 6, 7, 9, 4, 6, 7. Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus.
Stap 1: Gemiddelde: Tel op: 6+7+5+8+6+7+9+4+6+7 = 65. Deel door 10: 65/10 = 6,5
Stap 2: Mediaan: Sorteer: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Twee middelste: (6+7)/2 = 6,5
Stap 3: Modus: 6 en 7 komen allebei 3 keer voor. Modus = 6 en 7
Figuur 3 — Stippendiagram. Elke stip = één leerling. Mediaan en gemiddelde vallen hier samen op 6,5.
Voorbeeld 2: vmbo frequentietabel
In een frequentietabel staat: cijfer 5 (3x), cijfer 6 (5x), cijfer 7 (4x), cijfer 8 (3x). Bereken het gemiddelde.
Som van alle waarden: (5×3) + (6×5) + (7×4) + (8×3) = 15 + 30 + 28 + 24 = 97
Totaal frequentie: 3 + 5 + 4 + 3 = 15
Gemiddelde: 97 / 15 = 6,47 (afgerond op 2 decimalen)
Voorbeeld 3: vmbo dagelijks leven
Emma fietst elke dag naar school. Ze houdt bij hoe lang ze erover doet: 12, 15, 11, 14, 13 minuten. Wat is de gemiddelde rijtijd?
Som: 12+15+11+14+13 = 65. Aantal: 5. Gemiddelde: 65/5 = 13 minuten
vmbo tip
Bij een frequentietabel vermenigvuldig je elke waarde met zijn frequentie voor je optelt. Vergeet de frequenties niet in de noemer te tellen!
Gewogen gemiddelde en gemiddelde verandering
Op de havo werk je naast het rekenkundig gemiddelde ook met het gewogen gemiddelde. Dit is cruciaal voor je schoolcijfers: niet elke toets telt even zwaar mee. Een proefwerk met weging 2 telt dubbel zo zwaar als een overhoring met weging 1.
Daarnaast leer je op havo de gemiddelde verandering berekenen. Dit is de helling van een lijn tussen twee punten op een grafiek: Δy/Δx.
Voorbeeld 1: havo gewogen gemiddelde
Lars heeft voor wiskunde: overhoring 6,5 (weging 1), proefwerk 7,2 (weging 2), toets 5,8 (weging 1). Wat is zijn gewogen gemiddelde?
Teller: (6,5×1) + (7,2×2) + (5,8×1) = 6,5 + 14,4 + 5,8 = 26,7
Noemer: 1 + 2 + 1 = 4
Gewogen gemiddelde: 26,7 / 4 = 6,675 ≈ 6,7
Voorbeeld 2: havo gemiddelde verandering
Een auto rijdt volgens de formule s(t) = 2t² + 3. Bereken de gemiddelde verandering tussen t=2 en t=5.
s(2) = 2(4) + 3 = 11. s(5) = 2(25) + 3 = 53
Gemiddelde verandering: Δs/Δt = (53 − 11) / (5 − 2) = 42 / 3 = 14 m/s
Figuur 4 — De koordehelling (oranje) tussen (2, 11) en (5, 53) is de gemiddelde verandering: Δs/Δt = 14.
Voorbeeld 3: havo eindexamencijfer
Sanne haalt voor haar schoolexamen wiskunde een 7,3 en voor het centraal examen een 6,1. Wat is haar eindcijfer?
Formule: (SE + CE) / 2 = (7,3 + 6,1) / 2 = 13,4 / 2 = 6,7
Afgerond op een geheel getal: eindcijfer = 7
havo: PTA en Magister
Je wegingsfactoren vind je in je PTA-document of in Magister. Gebruik altijd de exacte wegingen uit het PTA, niet de wegingen die je in Magister ziet, die kunnen afgerond zijn.
Gemiddelde verandering, verwachtingswaarde en standaardafwijking
Op het vwo verdiep je het begrip gemiddelde. Je leert de gemiddelde verandering als benadering van de afgeleide, je werkt met de verwachtingswaarde E(X) in kansrekening, en je gebruikt het gemiddelde bij de normale verdeling.
De verwachtingswaarde is het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment, gewogen naar hun kans.
Voorbeeld 1: vwo gemiddelde verandering als benadering
Gegeven: f(x) = x³ – 2x. Bereken de gemiddelde verandering op [1, 1,01] en geef een benadering van f'(1).
f(1) = 1³ − 2(1) = 1 − 2 = −1
f(1,01) = (1,01)³ − 2(1,01) = 1,030301 − 2,02 = −0,989699
Δy = f(1,01) − f(1) = −0,989699 − (−1) = 0,010301
Δx = 1,01 − 1 = 0,01
Gemiddelde verandering: 0,010301 / 0,01 ≈ 1,03
De exacte afgeleide is f'(x) = 3x² − 2, dus f'(1) = 3(1)² − 2 = 1. De gemiddelde verandering op dit kleine interval (≈ 1,03) benadert f'(1) = 1 goed.
Voorbeeld 2: vwo verwachtingswaarde
Een dobbelsteen gooit 1, 2, 3, 4, 5 of 6, elk met kans 1/6. Wat is de verwachtingswaarde?
E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6)
= (1+2+3+4+5+6) / 6 = 21/6 = 3,5
De verwachtingswaarde is het gemiddelde als je het experiment oneindig vaak herhaalt.
vwo: let op het verschil
De gemiddelde verandering (differentiequotiënt) is niet hetzelfde als de afgeleide. De afgeleide is het limietgeval van de gemiddelde verandering als het interval naar nul gaat.
Fouten die studenten maken
Te vroeg afronden
Je rondt een tussenuitkomst al af, waarna het eindantwoord onjuist wordt. Bewaar alle decimalen tot de laatste stap.
Juist: reken met exacte waarden en rond alleen het eindantwoord af.
Mediaan en gemiddelde verwarren
Bij uitschieters (heel hoge of lage waarden) wijken mediaan en gemiddelde sterk af. De opgave vraagt specifiek om een van de twee.
Tip: de mediaan is robuuster bij uitschieters; het gemiddelde wordt erdoor beïnvloed.
Wegingen vergeten bij het gewogen gemiddelde
Je deelt door het aantal waarden in plaats van door de som van de wegingen. Resultaat: altijd een te hoog of te laag antwoord.
Formule: Σ(x·w) / Σw. Deel altijd door de totale weging, niet door het aantal toetsen.
Nul vergeten in de teller (frequentietabel)
Bij een frequentietabel met een waarde die 0 keer voorkomt, vergeten leerlingen die waarde mee te tellen in de noemer.
Tel altijd alle frequenties op voor de noemer, ook als een waarde 0 keer voorkomt.
Oefen zelf
Maak de opgave eerst zelf. Klik daarna op “Toon antwoord”.
1. Bereken het gemiddelde van: 4, 7, 9, 6, 8, 5, 7.
Som: 4+7+9+6+8+5+7 = 46. Aantal: 7. Gemiddelde: 46/7 ≈ 6,57
2. In een frequentietabel: cijfer 4 (2x), cijfer 6 (4x), cijfer 7 (3x), cijfer 9 (1x). Wat is het gemiddelde?
Teller: (4×2)+(6×4)+(7×3)+(9×1) = 8+24+21+9 = 62. Noemer: 2+4+3+1 = 10. Gemiddelde: 62/10 = 6,2
3. Sophie heeft voor Engels: 6,0 (weging 1), 7,5 (weging 2), 5,5 (weging 1), 8,0 (weging 2). Bereken haar gewogen gemiddelde.
Teller: (6,0×1)+(7,5×2)+(5,5×1)+(8,0×2) = 6+15+5,5+16 = 42,5. Noemer: 1+2+1+2 = 6. Gemiddelde: 42,5/6 ≈ 7,1
4. Tim haalt voor zijn SE een 6,8 en voor zijn CE een 7,4. Wat is zijn eindcijfer voor wiskunde?
(6,8 + 7,4) / 2 = 14,2 / 2 = 7,1. Afgerond op een geheel getal = 7
5. Bereken de gemiddelde verandering van f(x) = 3x² tussen x=1 en x=4.
f(1) = 3(1) = 3. f(4) = 3(16) = 48. Δy/Δx = (48−3)/(4−1) = 45/3 = 15
6. Een kansveranderlijke X kan waarden 1, 2, 3 aannemen met kansen P(1)=0,2, P(2)=0,5, P(3)=0,3. Bereken E(X).
E(X) = 1×0,2 + 2×0,5 + 3×0,3 = 0,2 + 1,0 + 0,9 = 2,1
Conclusie
Wat heb je geleerd?
Het gemiddelde berekenen is een fundamentele vaardigheid in de wiskunde en statistiek. Het rekenkundig gemiddelde bereken je door alle waarden op te tellen en te delen door het aantal: x̄ = Σx / n. Dat principe blijft hetzelfde, ongeacht je niveau.
Het gewogen gemiddelde gaat verder: je vermenigvuldigt elke waarde met zijn wegingsfactor en deelt de totale som door de som van alle wegingen. Dit is wat je tegenkomt in Magister, bij je PTA en bij het berekenen van je rapportcijfer. Het eindexamencijfer is altijd het gemiddelde van je schoolexamen en centraal examen, afgerond op een heel getal.
De mediaan is de middelste waarde na sorteren en is robuuster bij uitschieters dan het gemiddelde. De modus is de meest voorkomende waarde. Samen vormen ze de drie centrummaten die je op elk niveau moet beheersen.
Op havo en vwo leer je de gemiddelde verandering: Δy/Δx. Dit is de helling van een lijn tussen twee punten en een benadering van de afgeleide. Op vwo gebruik je het gemiddelde ook bij de verwachtingswaarde in kansrekening.
Gebruik de calculator hierboven voor snelle berekeningen. Begrijp ook de formule, zodat je antwoorden altijd kunt controleren.
